Brahmaguptamatrix

In de wiskunde is een brahmaguptamatrix een matrix, opgesteld in 628 door de Indiase wiskundige Brahmagupta, met een van de volgende structuren:

$B_{+}(x,y)={\begin{bmatrix}x&y\\ty&x\end{bmatrix}}{\mbox{ of }}B_{-}(x,y)={\begin{bmatrix}x&y\\-ty&-x\end{bmatrix}}$

Dit kan worden samengevat als:

$B(x,y,s)={\begin{bmatrix}x&y\\sty&sx\end{bmatrix}}$,

waarin

$s=\pm 1$

Dan is:

$B_{+}(x,y)=B(x,y,1)$ en $B_{-}(x,y)=B(x,y,-1)$

Het product van twee brahmaguptamatrices is weer een brahmaguptamatrix.

product van twee brahmaguptamatrices 

$B(x_{1},y_{1},s_{1})B(x_{2},y_{2},s_{2})={\begin{bmatrix}x_{1}&y_{1}\\s_{1}ty_{1}&s_{1}x_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}&y_{2}\\s_{2}ty_{2}&s_{2}x_{2}\end{bmatrix}}=$

$={\begin{bmatrix}x_{1}x_{2}+s_{2}ty_{1}y_{2}&x_{1}y_{2}+s_{2}y_{1}x_{2}\\s_{1}ty_{1}x_{2}+s_{1}s_{2}tx_{1}y_{2}&s_{1}ty_{1}y_{2}+s_{1}s_{2}x_{1}x_{2}\end{bmatrix}}=$

$={\begin{bmatrix}x_{1}x_{2}+s_{2}ty_{1}y_{2}&x_{1}y_{2}+s_{2}y_{1}x_{2}\\s_{1}s_{2}t(x_{1}y_{2}+s_{2}y_{1}x_{2})&s_{1}s_{2}(x_{1}x_{2}+s_{2}ty_{1}y_{2})\end{bmatrix}}=$

$=B(x_{1}x_{2}+s_{2}ty_{1}y_{2},\ x_{1}y_{2}+s_{2}y_{1}x_{2},\ s_{1}s_{2})$

De $n$-de macht van een brahmaguptamatrix wordt geschreven als:

$B_{n}=B^{n}={\begin{bmatrix}x&y\\ty&x\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}x_{n}&y_{n}\\ty_{n}&x_{n}\end{bmatrix}}$

Daarin zijn $\ x_{n}$ en $\ y_{n}$ polynomen in $t$ die brahmaguptapolynomen worden genoemd. Deze zijn ook voor negatieve $n$ gedefinieerd.

brahmaguptamatrices voor negatieve $n$ 

$B_{-n}=B^{-n}={\begin{bmatrix}x&y\\ty&x\end{bmatrix}}^{-n}={\begin{bmatrix}x_{-n}&y_{-n}\\ty_{-n}&x_{-n}\end{bmatrix}}$

Websites

• MathWorld. Brahmagupta Matrix.