F-ruimte

In de functionaalanalyse, een onderdeel van de wiskunde, is een F-ruimte een topologische vectorruimte waarop onder meer de open afbeeldingsstelling van toepassing is. F-ruimten zijn generalisaties van fréchet-ruimten.

Definitie

Een F-ruimte is een topologische vectorruimte waarvan de topologie afkomstig is van een translatie-invariante metriek en die (als metrische ruimte) volledig is.

Een metriek $d:X\times X\to \mathbb {R} ^{+}$ heet translatie-invariant als de afstand tussen twee willekeurige punten ongewijzigd blijft bij het verschuiven van de twee punten over eenzelfde vector. Dus als voor alle $x,y,z\in X$

$d(x,y)=d(x+z,y+z)$

Deze definitie generaliseert die van een fréchet-ruimte, doordat geen lokale convexiteit meer geëist wordt. Deze terminologie is niet universeel: sommige auteurs eisen geen lokale convexiteit bij fréchet-ruimten, en andere nemen lokale convexiteit op in de definitie van een F-ruimte.

Voorbeelden

Dit tweedimensionale model geeft een idee waarom de oneindigdimensionale $L^{p}$ voor $0<p<1$ niet lokaal convex zijn. De eenheidsbol in $\mathbb {R} ^{2}$ voor de afstandsfunctie $d(x,y)=(x_{1}-x_{2})^{2/3}+(y_{1}-y_{2})^{2/3}$ is een niet-convexe figuur afgebakend door een astroïde

Alle fréchet-ruimten, en dus in het bijzonder alle banachruimten, zijn F-ruimten.

Voorbeelden van F-ruimten die niet lokaal convex zijn, worden geleverd door de $L^{p}$-ruimten van meetbare (reëel- of complexwaardige) functieklassen op het interval $[0,1]$ voor gegeven vaste $p$ met $0<p<1$.

De functie

$d(f,g)=\int _{0}^{1}|f(x)-g(x)|^{p}\,\mathrm {d} x$

is een translatie-invariante metriek op $L^{p}$, en $(L^{p},d)$ is een volledige metrische ruimte, maar deze ruimte heeft geen enkele convexe open deelverzameling behalve de lege verzameling en de ruimte zelf.

Bronnen, noten en/of referenties