Naar inhoud springen

Frobenius-endomorfisme

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de commutatieve algebra en de theorie van lichamen/velden, deelgebieden van de wiskunde, is het frobenius-endomorfisme een speciaal endomorfisme van commutatieve ringen met een priemgetal als karakteristiek dat elk element afbeeldt. op zijn -de macht. In bepaalde contexten is een frobenius-endomorfisme een automorfisme, maar dit is in het algemeen niet het geval. Commutatieve ringen met een priemgetal als karakteristiek vormen een belangrijke klasse die in het bijzonder de lichamen/velden omvat. Het frobenius-endomorfisme is genoemd naar Ferdinand Georg Frobenius.

Voor eindige lichamen van karakteristiek is het frobenius-endomorfisme van speciaal belang, en is het zelfs zo dat de gehele groep van automorfismen wordt voortgebracht door het frobenius-endomorfisme

Er geldt , aangezien alle andere termen in het binomium deelbaar zijn door . Dus is

Ook is:

en

Er zijn niet meer dan automorfismen, omdat de multiplicatieve groep cyclisch is.