Machins formule

Machins formule is een uitdrukking voor het getal $\pi$ (pi), opgesteld in 1706 door de Britse hoogleraar sterrenkunde John Machin, waarmee hij $\pi$ in 100 decimalen berekende. De formule luidt:

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$

Afleiding

Voor de tangens van de som van twee hoeken geldt:

$\tan(x+y)={\frac {\tan(x)+\tan(y)}{1-\tan(x)\tan(y)}}$

Daaruit volgt:

$\arctan {\frac {a}{m}}+\arctan {\frac {b}{n}}=\arctan {\frac {an+bm}{mn-ab}}$,

mits

$-{\frac {\pi }{2}}<\arctan {\frac {a}{m}}+\arctan {\frac {b}{n}}<{\frac {\pi }{2}}$

Toepassing levert:

$2\arctan {\frac {1}{5}}=\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{5}}=\arctan {\frac {5+5}{25-1}}=\arctan {\frac {5}{12}}$

en

$4\arctan {\frac {1}{5}}=\arctan {\frac {5}{12}}+\arctan {\frac {5}{12}}=\arctan {\frac {60+60}{144-25}}=\arctan {\frac {120}{119}}$,

zodat

$4\arctan {\frac {1}{5}}-{\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{1}}=\arctan {\frac {120}{119}}+\arctan {\frac {-1}{1}}=$

$=\arctan {\frac {120-119}{119+120}}=\arctan {\frac {1}{239}}$

Machin gebruikte de taylorreeksontwikkeling van de arctangens, die zeer recentelijk ontwikkeld was, voor zijn berekening van $\pi$.