Linnes speelde in de jeugdopleiding van Sander IL en later verkaste de verdediger naar Kongsvinger IL. Hij debuteerde voor die club op 5 mei 2010, toen er met 0–1 gewonnen werd op bezoek bij Sandefjord Fotball.[1] In 2010 degradeerde Linnes met Kongsvinger naar de 1. divisjon. Hij speelde hier één seizoen en in 2011 werd hij aangetrokken door Molde FK, nadat zijn contract was afgelopen.[2] Voor zijn nieuwe club debuteerde de rechtsback op 23 maart 2012, tijdens een 2–1 overwinning op Strømsgodset IF.[3] Linnes maakte op 17 september 2015 zijn eerste doelpunt in een Europese clubcompetitie: in de uitwedstrijd tegen Fenerbahçe (1–3) in de UEFA Europa League 2015/16 maakte hij in de vijfenzestigste minuut het derde doelpunt voor Molde FK.[4] Linnes tekende in januari 2016 een contract bij Galatasaray, actief in de Turkse Süper Lig.[5][6] In maart 2019 verlengde Linnes zijn verbintenis bij de Turkse club tot medio 2021.[7] Na afloop van deze verbintenis mocht de Noor transfervrij vertrekken. Hierop keerde hij terug bij Molde FK, waar hij tot en met december 2025 tekende.[8]