Ongelijkheid van Jensen

De ongelijkheid van Jensen is een stelling uit de kansrekening, genoemd naar de Deense wiskundige Johan Jensen.

Als $X$ een integreerbare reële stochastische variabele is met waarden in het open interval $(a,b)$, en $f$ is een convexe reële functie op $(a,b)$, dan geldt

$f(\operatorname {E} (X))\leq \operatorname {E} (f(X))$

waarin $\operatorname {E}$ de verwachtingswaarde aangeeft.

Hierbij kan het rechterlid van de ongelijkheid eventueel oneindig zijn. De ongelijkheid blijft gelden als $(a,b)$ een halve rechte of de hele reële as is ($a=-\infty$ en/of $b=+\infty$).

Voorbeelden van toepassing

De absolute waarde is een convexe functie, dus

$|\operatorname {E} X|\leq \operatorname {E} |X|$

Algemener is voor $r\geq 1$ de functie $x\mapsto |x|^{r}$ convex, dus als $0<p\leq q$ en $f\in L^{q}$, geldt

$\left(\operatorname {E} (|X|^{p})\right)^{1 \over p}\leq \left(\operatorname {E} (|X|^{q})\right)^{1 \over q}$

Pas de ongelijkheid van Jensen toe op de stochastische variabele $|X|^{p}$ en de convexe functie $x\mapsto |x|^{q/p}$.

Hieruit volgt dat in het bijzonder geval van een kansmaat, de Lp-ruimten een dalende ketting van verzamelingen vormen:

$\ldots \supset L^{p}\supset L^{q}\supset \ldots \supset L^{\infty }$