Overleg:Afgeleide

Fietser

Aardig voorbeeld met die fietser! Dit doet mij vervolgens weer denken aan een proef die gaat worden genomen op autosnelwegen, waarbij er tussen twee vaste peil-punten $s_{0}$ en $s_{1}$ voor individuele auto's de gemiddelde snelheid gaat worden vastgesteld, dus

$\Delta s=s_{1}-s_{0}$ met gemeten per auto:

$\Delta t=t_{1}-t_{0}$

De gemiddelde snelheid in die periode voor die auto was dus:

${\bar {v}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$.

Echter, politie/justitie maakt vervolgens in feite nog gebruik van een extra stelling die zegt dat binnen een bepaald tijdsinterval de werkelijke momentane snelheid ooit een keer minstens gelijk zal zijn aan de voor dat tijdsinterval geldende gemiddelde snelheid. Iemand die bekeurd wordt zou dus kunnen eisen dat men een bewijs geeft van deze stelling, alvorens te betalen. :-) Bob.v.R 4 jan 2005 04:40 (CET)

Dat kun je wel vragen, maar justitie hoeft dat niet te bewijzen! Schik je niet, dan komt de zaak voor. Dan zul je er een harde dobber aan hebben om het tegendeel te bewijzen: steeds minder dan het maximum, maar gemiddeld toch erboven!Nijdam 4 jan 2005 15:27 (CET)

Afgeleide van cosinus

Ik heb deze afleiding verwijderd omdat hij niet correct is en ook nog steunt op een andere limiet.

• afgeleide van $f(x)=cos(x)$

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\cos(x+\Delta x)-\cos(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\cos(x)\cos(\Delta x)-\sin(x)\sin(\Delta x)-cos(x)}{\Delta x}}$

$={\frac {\cos(x)1-\sin(x)\Delta x-\cos(x)}{\Delta x}}=-\sin(x)$

Gebruik makend van de optelformules van de cosinus: $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$

Nijdam 11 jun 2005 21:22 (CEST)

ok, waar ging dat bewijs de mist in? MADe

Het is slechts een formele omissie, nl. bij de 3e stap kun je niet zomaar de limiet weglaten, hoewel het hier feitelijk niet uitmaakt. Verder steunt het bewijs op de limiet sinx/x -> 1.Nijdam 11 jun 2005 23:16 (CEST)

Waarom mag je dan niet de dx'en wegstrepen, zodat je de lim dx->0 van -sin(x) = -sin(x) overhoudt? Sixtus 11 jun 2005 23:25 (CEST)

ons werk leeft hier verder: http://af.wikipedia.org/wiki/Afgeleide

Klopt, ik hier en daar wat aan kruisbestuiving van nl: en af: :) Vertalen tussen nl: en af: kost een fractie van de tijd die het voor bijvoorbeeld de: en en: kost, dus kan snelle groei voor beide Wikipedia's betekenen. Danielm 23 jun 2005 23:27 (CEST)

Je mag wel dx wegstrepen als die er maar zouden staan. Maar... er staat sin(dx)/dx en dat is weliswaar correct, maar hier onbewezen, vervangen door dx/dx.Nijdam 23 jun 2005 23:15 (CEST)

Jullie zijn wel lekker bezig. Heeft het wel zin om een voorbeeld van het differentiëren van goniometrische of exponentiële functies op te nemen als de afleiding toch niet streng is? Of de productregel toe te passen voordat die gedefinieerd is? Wat vervelend trouwens dat de math-tags alles zo groot maken, dat komt de leesbaar heid niet bepaald ten goede, maar daar kunnen wij schrijvers natuurlijk niets aan doen. Floris V 24 feb 2006 01:05 (CET)

De afleiding kan wel streng, hoor. Op de middelbare school wordt op elementaire wijze bewezen dat $\lim _{a\to 0}{\frac {sin(a)}{a}}=1$, en dit kan worden gebruikt voor het differentiëren van de sinusfunctie. Vervolgens kunnen met behulp van bewezen productregels e.d. ook andere goniometrische functies worden gedifferentieerd. Bob.v.R 24 feb 2006 03:52 (CET)

Je kunt beter gebruik maken van de formule cos(x+h) - cos (x) = -2sin(x+h/2)sin(h/2), daarna zit je nog met de limiet sin(x)/x → 1, die je expliciet zou moeten vermelden. Veel werk, waarom de afgeleides niet zonder bewijs vermelden?Floris V 25 feb 2006 17:45 (CET)

Zie niet in waarom je de afgeleide van sin(x) strikt zou bewijzen. Ten eerste draagt het niet bij tot de leesbaarheid van het artikel. Ten tweede past dit volgens mij niet in de flow van het artikel. Het begrip afgeleide hier ook op een intuïtieve informele manier aangebracht. Ik ben er voorstander van om de afgeleiden van de basisfuncties mee te geven zonder bewijs. Misschien is het ook nuttig om een korte toelichting te geven over de uitbreiding van de afgeleide naar meerdere dimensies dat een verwijzing biedt naar begrippen zoal partiële afgeleide, richtingsafgeleide, gradiënt, ... Mastomer 30 feb 2011 10:05 (CET)

accent teken

Hoi, Bij de theoretische afgeleide staat bij het tweede sub-stukje

...... de productregel op toepassen: f'(x) = xn − 1 + x(n − 1)xn − 2 = nxn − 1. ......

Op diverse computers die ik gebruik komt echter de accent niet duidelijk over!!!!

Misschien is dit iets om naar te kijken???

Groet, Robert
Bovenstaande niet d.m.v. vier tildes ondertekende suggestie is hier op 6 dec 2007, om 23:42 uur, geplaatst door Robertvandenbos.

Parsing

Nu heb ik problemen. De gewraakte formules geven met MatJax een foutmelding. Madyno (overleg) 14 sep 2013 22:56 (CEST)

Hoe is het met het volgende?

De afgeleide van een functie f met variabele x wordt vaak genoteerd als $f\,'$ ("f-accent") of als ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}$. De notatie $\mathrm {D} f$ wordt ook gebruikt.

Als $\ y=f(x)$ dan schrijft men soms ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$, $\mathrm {D} y$ of $y\,'$ of indien er verwarring mogelijk is $y\,'_{\!{}_{x}}$.

Madyno (overleg) 14 sep 2013 23:10 (CEST)

Dat is goed te lezen hier. Overigens komt het weleens voor (tenminste zo lijkt het) dat je een wiskundige expressie twee keer moet laten controleren door de editor voordat deze het accepteert. Bob.v.R (overleg) 14 sep 2013 23:17 (CEST)

Bovenstaande geeft geen parserfouten. Mvg JRB (overleg) 14 sep 2013 23:26 (CEST)

Ik neem dan deze vorm op in de tekst. Madyno (overleg) 15 sep 2013 11:03 (CEST)

Ik had hetzelfde probleem: met MathJax waren er parserfouten, en na mijn bewerkingen zag ik geen parserfouten meer. Maar als iedereen steeds alles met alle opties moet testen, wordt het wel erg lastig. Ik zag overigens ook met de standaardinstellingen zojuist geen parserfouten in de versie zoals ik die had aangepast, maar bij een volgende poging om die versie te bekijken, stikte het ervan. Het lijkt me dus eerder een probleem met de parser dan met de code. Paul B (overleg) 15 sep 2013 12:06 (CEST)

Math-sjabloon

De tekst die met de Math-sjabloon gevormd is, ziet er bijzonder lelijk uit en komt niet overeen met de symbolen in de formules in TeX.Madyno (overleg) 25 okt 2017 00:08 (CEST)

Waarom is het een probleem dat ze niet overeenkomen? --bdijkstra (overleg) 25 okt 2017 10:59 (CEST)

Strikt genomen is de variabele $x$ verschillend van x. Niet voor niets bestaat de TeX-formattering. Ander kun je ook platte tekst gebruiken en gewoon x schrijven of x.Madyno (overleg) 25 okt 2017 11:37 (CEST)

Ik zou zeggen dat ze strikt genomen hetzelfde zijn, omdat de context niet aangeeft dat we stilistische verschillen moeten meenemen. Dat we x schuin schrijven of zelfs cursief is slechts een hulpmiddel voor de leesbaarheid. Zelfs wiskundigen zijn over het algemeen niet gek genoeg om in dezelfde verhandeling meerdere symbolen te introduceren die alleen in opmaak verschillen (d.w.z. dezelfde Unicode-karakters gebruiken). --bdijkstra (overleg) 25 okt 2017 11:50 (CEST)

logaritme

@Nico Boey: Zoals je zelf al zei, heb je er weinig verstand van. Dat blijkt ook wel, want de Engelse W. geeft de afgeleide van de logaritme met het grondtal a. Dit lemma geeft de afgeleide van de natuurlijke logaritme. Madyno (overleg) 9 jul 2018 18:10 (CEST)

Nico Boey werd misschien in verwarring gebracht vanwege de ongebruikelijke notatie. Ik heb de notatie nu gecorrigeerd. Bob.v.R (overleg) 10 jul 2018 10:30 (CEST)

Inleiding

Het lijkt me niet een verbetering om in de inleiding, bij een alinea over functies van 1 variabele, een opmerking toe te voegen over de richtingsafgeleide. Dit veroorzaakt bij de lezer verwarring, zonder dat daartoe enige noodzaak bestaat. Bob.v.R (overleg) 15 jul 2018 14:06 (CEST)

• Behalve dat het voor een functie in één variabele het net zo duidelijk is om over de richtingsafgeleide te spreken als over de afgeleide. ChristiaanPR (overleg) 15 jul 2018 14:16 (CEST)
  • Dat lijkt mij niet, de term 'richtingsafgeleide' wordt nauwelijks gebruikt en voegt bij een functie van 1 variabele onnodige verwarring toe, en dus ook onduidelijkheid. Bob.v.R (overleg) 15 jul 2018 15:49 (CEST)
    • Hoezo verwarring en onduidelijkheid, ze zijn hetzelfde? Het is de afgeleide die de richting geeft. ChristiaanPR (overleg) 15 jul 2018 17:23 (CEST)
      • Bij meer dan 1 variabele kan je in oneindig veel richtingen kijken hoe snel de functie stijgt of daalt, volgens het artikel Richtingsafgeleide. Bij 1 variabele kan dat in 1 richting. Bob.v.R (overleg) 15 jul 2018 17:31 (CEST)
        • dag Bob, De richtingsafgeleide is in dat geval dus gelijk aan de afgeleide, daar is niets verwarrends aan. Op internet gaan alle artikelen die de richtingsafgeleide behandelen over meer dan een variabele. Ik ben het daar alleen niet helemaal mee eens, dat is alles. ChristiaanPR (overleg) 15 jul 2018 19:06 (CEST)
          • Er zijn overigens twee richtingen, elk met hun richtingsafgeleide. - Patrick (overleg) 15 jul 2018 22:58 (CEST)
            • Patrick, Met één variabele is er maar één richtingsafgeleide. ChristiaanPR (overleg) 16 jul 2018 01:45 (CEST)
            • Bob, Ik heb weer geen argument van je gehoord. ChristiaanPR (overleg) 16 jul 2018 01:45 (CEST)
              • Patrick heeft gelijk, bij 1 variabele zijn er precies 2 richtingsafgeleides. Bob.v.R (overleg) 16 jul 2018 03:20 (CEST)
                • Volgens mij is het gezocht wat jullie bedoelen, zoiets als het verschil tussen een linker en een rechter afgeleide. Dat is voor de afgeleide en de richtingsafgeleide hetzelfde. Die zijn hetzelfde, richtingsafgeleide voor afgeleide is duidelijk. ChristiaanPR (overleg) 16 jul 2018 15:55 (CEST)
                  • Christiaan, in een encyclopedie is het niet de bedoeling om zaken onjuist weer te geven. Ik hoop dat we het daarover eens zijn. En als je iets niet begrijpt dan moet je er niet over schrijven. Bob.v.R (overleg) 16 jul 2018 20:52 (CEST)
                    • Dat is geen argument, dat is alleen maar schelden. Met één variabele is er, afgezien van het geval er discontinuïteiten zijn, maar één richtingsafgeleide. Ik heb nergens iets verkeerd gezegd, dat je kan zeggen dat ik de afgeleide niet kan bepalen. ChristiaanPR (overleg) 16 jul 2018 21:15 (CEST)

                    Dan nog kunnen afgeleide en richtingsafgeleide zonder mankeren door elkaar heen worden gebruikt. ChristiaanPR (overleg) 16 jul 2018 21:54 (CEST)

                    • Afhankelijk van de richting is bijvoorbeeld de richtingsafgeleide van 3x gelijk aan 3 of -3. - Patrick (overleg) 16 jul 2018 22:53 (CEST)
                      • hallo Patrick, Bij een verandering van 3x naar links zijn d3x maar ook dx negatief, dus is het altijd 3. Patrick, je vergist je. ChristiaanPR (overleg) 16 jul 2018 23:04 (CEST)

@Bob.v.R dag Bob, Patrick heeft in de bovenstaande discussie geschreven, dat er twee richtingen zijn, elk met hun richtingsafgeleide. Dat heb ik in mijn laatste antwoord hierboven weerlegd. Na de opmerking van Patrick heb jij die opmerking beaamd. Nu ik de bewering van Parick heb weerlegd, kun jij zeggen dat jij hetzelfde als Patrick bedoelde of iets anders. Dat lijkt mij een redelijke vraag. ChristiaanPR (overleg) 16 jul 2018 23:47 (CEST)

Ik zie geen berekening waarin ChristiaanPR op grond van de definitie van richtingsafgeleide zijn bewering onderbouwt. Ik sluit me wat dit onderwerp betreft aan bij de opmerkingen van Patrick. Bob.v.R (overleg) 17 jul 2018 00:02 (CEST)

Nog een suggestie: ga uit van de definitie en beschouw de twee eenheidsvectoren ${\vec {v_{a}}}=(1)$ en ${\vec {v_{b}}}=(-1)$. Bob.v.R (overleg) 17 jul 2018 00:15 (CEST)

Ik ben zojuist terug van een weekje weggeweest, en wat zien ik: richtingsafgeleide?! Daar is een apart lemma van. En bij een eerste introductie over afgeleide, lijkt het me volkomen misplaatst de richtingsafgeleide erbij te slepen. Madyno (overleg) 17 jul 2018 23:08 (CEST)

De afgeleide van een functie in een bepaald punt is de tegengestelde van de afgeleide van dezelfde functie in hetzelfde punt, maar waarbij het argument in tegengestelde richting loopt. Dat geldt voor zowel de afgeleide als de richtingsafgeleide. Wanneer de afgeleide en de richtingsafgeleide van dezelfde functie in hetzelfde punt en in dezelfde richting worden genomen, komt er hetzelfde uit. Het is duidelijk dat de afgeleide van een functie in een bepaald punt tegengesteld is aan de richtingsafgeleide van dezelfde functie in hetzelfde punt, maar tegengesteld van richting genomen. Daarom komen jullie tot twee tegengestelde waarden.

Wanneer je het er niet mee eens bent, geef dan een voorbeeld van een functie in één variabele waarin de richtingsafgeleide in beide richtingen anders verschillen dan alleen van teken.

ChristiaanPR (overleg) 18 jul 2018 06:22 (CEST)

Het is inderdaad alleen een verschil in teken. Bij een gewone afgeleide bekijk je per definitie een stijgende x, bij de richtingsafgeleide zijn er twee mogelijkheden. - Patrick (overleg) 18 jul 2018 09:48 (CEST)

Ik begrijp dat ChristiaanPR hier met wat omhaal van woorden toegeeft dat Patrick gelijk heeft, prima. Ik denk dat inmiddels ook duidelijk is geworden dat het begrip richtingsafgeleide niet erbij moet worden gesleept als aan een lezer wordt verteld wat een afgeleide is. Bob.v.R (overleg) 18 jul 2018 09:52 (CEST)

@ChristiaanPR: Bekijk ook eens goed Richtingsafgeleide#Definitie en Eenheidsvector. Zoals Bob.v.R al aangaf: (-1) is ook een eenheidsvector. - Patrick (overleg) 18 jul 2018 09:56 (CEST)

$f'_{\vec {-1}}(x)=-f'(-x)$, maar de richtingsafgeleide $f'_{\vec {1}}$ is de afgeleide: $f'_{\vec {1}}(x)=f'(x)$. Dan is er ook nog een richtingscoëfficiënt, maar richtingsafgeleide en afgeleide kunnen voor functies met één variabele, zonder dat er verder iets bij wordt gezegd en zonder dat het verwarring schept, door elkaar heen worden gebruikt. ChristiaanPR (overleg) 19 jul 2018 07:08 (CEST)

De term "richtingsafgeleide" slaat nergens op als je de richting er niet bij zegt en standaard de plusrichting bedoelt. Overigens is (in jouw notatie) $f'_{\vec {-1}}(x)=-f'(x)$. - Patrick (overleg) 19 jul 2018 09:45 (CEST)

Wat ik ondertussen niet begrijp is dat ChristiaanPR het onophoudelijk heeft over de richtingsafgeleide maar niet leest wat daarvan de definitie is. Zowel door mij als door Patrick is er nu op gewezen dat het wel handig is om de definitie te lezen. Als ChristiaanPR ondanks deze twee suggesties blijft weigeren te lezen wat de definitie is, dan vraag ik me af waarom hij tegelijkertijd over dit onderwerp blijft doorzeuren (en dan zeg ik het nog bijzonder vriendelijk). Bob.v.R (overleg) 19 jul 2018 10:44 (CEST)

hallo Patrick, $D_{\vec {-1}}\ f(x)=-f'(x)$, dat heb ik met woorden hierboven al uitgebreid gezegd. Met $g(x)=f(-x)$ is $g'(x)=-f'(-x)$. De richtingsafgeleide zonder dat daarbij een richting wordt genoemd als de afgeleide interpreten ligt voor de hand en is correct. Iemand moet de vrijheid hebben om een afgeleide een keer richtingsafgeleide te noemen, zonder dat dan meteen wordt gezegd dat het verwarrend is. Ik ga het hier niet veranderen. ChristiaanPR (overleg) 20 jul 2018 07:08 (CEST)

Als f(x) = 3x en de eenheidsvectoren zijn ${\vec {v_{a}}}=(1)$ en ${\vec {v_{b}}}=(-1)$ dan is $D_{\vec {v_{a}}}f=3$ en $D_{\vec {v_{b}}}f=-3$. Verder heeft Patrick gelijk: als er geen richting wordt genoemd dan slaat het nergens op om te spreken over een richtingsafgeleide. Bob.v.R (overleg) 20 jul 2018 10:11 (CEST)

Inmiddels heeft op richtingsafgeleide ChristiaanPR de definitie verruimd door de eis 'eenheidsvector' te laten vervallen. Ik heb daar geen zwaarwegend bezwaar tegen, want op de andere wikipedia's zien we iets vergelijkbaars. Een consequentie hiervan voor het eendimensionale voorbeeld van Patrick is dat nu ook bijvoorbeeld ${\vec {v_{c}}}=(2)$ en ${\vec {v_{d}}}=(-3)$ zijn toegelaten, met bijbehorende richtingsafgeleide resp. $D_{\vec {v_{c}}}f=6$ en $D_{\vec {v_{d}}}f=-9$. Bob.v.R (overleg) 22 jul 2018 08:11 (CEST)

Eerste afgeleide en afgeleide samenvoegen

Bovenaan het artikel is er een melding dat men geageerd heeft om de artikelenen "eerste afgeleide" en "afgeleide" samen te voegen. Hier wordt echter niet over gediscussieerd. Het lijkt mij dat het prima is als er twee artikelen zijn en elk moet naar de andere verwijzen.

Natuurlijk kan je een tweede afgeleide vaak bepalen door de eerste afgeleide van de eerste afgeleide te nemen. Afhankelijk van preciese definities kan je meerdere definities hanteren of weg komen met een. Zijn er mensen die over deze artikelen nog nadenken? Op Quora was laatst een vraag "waarom dit artikel zo slecht was". Ik denk niet dat het zo slecht is. Het concept is lastig. Sommige mensen willen formele wiskunde zien, anderen willen intuitie en voorbeelden en plaatjes. Een goed artikel is geschreven voor en door beide soorten mensen. Mooi uitdaging. Gill110951 (overleg) 12 aug 2020 16:18 (CEST)

Ik ben degene die het voorstel heeft gedaan. Daar ben ik nog steeds een grote voorstander van. Ik vind in het commentaar van Gill geen houvast voor het tegendeel. Madyno (overleg) 12 aug 2020 18:00 (CEST)

Vraag/opmerking van de overlegpagina van voormalig artikel

Origineel: [1]

In de tekst staat er:

Omgekeerd geldt dit niet! Een eerste afgeleide gelijk aan nul impliceert niet dat er een extremum optreedt, zo is de afgeleide f'(x)= 3x² van f(x) = x³ nul voor x = 0 terwijl er geen maximum of minimum optreedt, maar een buigpunt.

Dit klopt inderdaad, maar er moet wel bij vermeld worden dat voor "3x² = 0" de oplossing inderdaad "0" is, maar die "0" is hier wel een dubbel nulpunt. Als het geen dubbel nulpunt, maar een enkelvoudig nulpunt betreft, impliceert dit (volgens mij) wel een extremum.

NB: Ik ben geen wiskundige, dus ik heb dit niet verder onderzocht, maar als iemand hier meer van weet, gelieve aan te vullen. – De voorgaande bijdrage werd geplaatst door 83.101.15.44 (overleg · bijdragen) 30 dec 2008 14:30

Dat klopt. Dit gebeurt altijd als de eerste afgeleide een meervoudig nulpunt heeft dat een even aantal keren voorkomt. Ik heb dit toegevoegd aan het artikel. Wikiwerner (overleg) 18 apr 2020 17:08 (CEST)