Overleg:Gelijkheid van Chasles-Möbius

Lijnstukken

Het gedeelte over lijnstukken en deelverhoudingen lijkt hier niet in te passen en is ook onduidelijk. Madyno (overleg) 25 mei 2018 15:12 (CEST)

Tja, die C-M-betrekking kan je nu eenmaal toepassen op vectoren en lijnstukken.

En eenmaal toegepast op lijnstukken, is een voorbeeld van gebruik m.i. passend. En de deelverhouding ligt dan, vind ik, voor de hand. Overigens, waarin zit de onduidelijkheid? Ik zal de typo's verbeteren (da's erg). Daaf Spijker (overleg) 25 mei 2018 17:27 (CEST)

Tja, het lijkt me een open deur intrappen, of hoe je het noem,en wilt, on CM op lijnstukken tot tte passen: AB+BC=AC; wat druk je daar mee uit? Madyno (overleg) 27 mei 2018 00:04 (CEST)

Het onderste gedeelte met de notatie (ABC) is voor mij inderdaad niet voldoende duidelijk, en misschien is het inderdaad off-topic. Direct daarboven is er het volgende gedeelte:

Uitgaande van een lijnstuk AB waarop een punt C gelegen is, is dan:

• per definitie: AB = -BA
• met als gevolg: AB + BC + CA = 0

Opm. bij de eerste bullet: zou dit niet een gevolg van de stelling moeten zou zijn in plaats van een definitie? Kan wellicht worden gehandhaafd, mits omgezet naar vectornotatie.

Opm. bij de tweede bullet: waarom de eis dat C op AB ligt? Ik betwijfel of die eis noodzakelijk is. Ook dit kan wellicht worden gehandhaafd, mits omgezet naar vectornotatie.

Bob.v.R (overleg) 27 mei 2018 00:30 (CEST)

Stelling

Hoe meer ik erover nadenk, hoe meer ik denk dat de "stelling" alleen historische betekenis heeft. De uitspraak is eigenlijk niets anders dan de definitie van optelling van vectoren. Madyno (overleg) 27 mei 2018 10:14 (CEST)

Inderdaad, dat zou mijn volgende opmerking ook zijn geweest: het woord 'stelling' is hier onjuist gebruikt (probeer 'em maar eens te bewijzen...) Ik spreek liever over de Möbius-conventie. In het artikel Dubbelverhouding wordt de deelverhouding op een lijnstuk vastgelegd met vectoren. Da's niet fraai als het over lijnstukken gaat. Omdat e.e.a. ook op (noodzakelijk) collineaire punten (deelverhouding van 3 punten) kan worden toepast (Martin Kindt spreekt in Lessen Projectieve meetkunde van "gerichte verhoudingen"), moet eerst een definitie analoog aan die bij vectoren gegeven worden (noodzakelijk), ${\overrightarrow {AB}}\ =-{\overrightarrow {BA}}$. Dus gewoon: $AB=-BA$. Het gevolg van de gebruikelijke notatie bij optelling van (lengtes van) op dezelfde lijn liggende lijnstukken is dan:

$AB+BC=AC$ of $AB+BC-AC=0$, zodat volgens Möbius: $AB+BC+CA=0$

M.i. moet onderscheid worden gemaakt tussen beide toepassingen, vandaar dat ik nogmaals pleit voor de paragraafkoppen "Vectoren" en "Gerichte lijnstukken".

Ook de artikelnaam zou ik wel willen veranderen: "Betrekking van Chasles-Möbius" of wellicht beter "Chasles-Möbius-conventie".

En off-topic? Nee dus. Die conventie is (ik herhaal) toepasbaar op vectoren én op lijnstukken (en dat zijn verschillende dingen; het is dus niet dubbelop).

En de definitie van de deelverhouding (ABC) van drie collinaire punten is dan eigenlijk niets anders dan een toepassing van de CM-conventie zonder vectoren te gebruiken, en dat is euclidisch gezien beter dan met gebruik ervan.
Daaf Spijker (overleg) 27 mei 2018 11:59 (CEST)

In het lemma over vectoren wordt gesproken van de "gelijkheid van CM". Het artikel van Möbius in het Journal für die reine und angewandte Mathematik geeft mij de indruk dat hij de vectoriële optelling van lijnstukken behandelt. Let wel, het was 1844. Mijn conclusie is dat de gelijkheid hoogstens historische vermelding waard is. Verdere betekenis heeft zij niet. Al helemaal niet als basis voor het optellen van de lengten van lijnstukken. Wat het begrip deelverhouding ermee te maken heeft is me onduidelijk. Madyno (overleg) 27 mei 2018 15:44 (CEST)

Volgens mij is AB de lengte van een lijnstuk, en kan dat dus niet negatief worden. Bob.v.R (overleg) 27 mei 2018 20:31 (CEST)

Ik begrijp de portee van je opmerking niet. Zie je wel het probleem dat ik signaleer? Madyno (overleg) 27 mei 2018 22:26 (CEST)

1. Als de betekenis van deze stelling uitsluitend nog van historische aard is, dan moet het artikel natuurlijk nog steeds blijven, maar dan moet dat duidelijker in het artikel worden vermeld. De stelling als zodanig komt ook op mij over als een open deur.

2. Met mijn opmerking van 27 mei 2018 om 20:31 uur gaf ik aan dat je inderdaad kan zeggen dat ${\overrightarrow {AB}}\ =-{\overrightarrow {BA}}$, maar $AB=-BA$ is m.i. onjuist. Bob.v.R (overleg) 27 mei 2018 22:34 (CEST)

Mijn slot

Beste Bob.v.R. en Madyno, Bedankt voor jullie op- en aanmerkingen. Ik dacht de oplossing van mijn probleem met de vectoriële definitie van "Deelverhouding" in het artikel Dubbelverhouding via mijn bijdrage te vinden. Door de gevoerde discussie ben ik weer op het rechte pad. Ik heb daarom mijn bijdrage gewist. Ik zal het moeten oplossen via Kindt's "gerichte verhouding". Alleen de link naar de tekst van Möbius laat ik uit 'historisch oogpunt' staan. Heeft het iets opgeleverd? Ja, m.i. wel: het is geen 'Stelling van CM' maar eerder een 'relatie', 'conventie' of 'identiteit', 'gelijkheid', 'betrekking'. Ik laat het aan anderen, indien gewenst, de titel van de pagina te wijzigen.Daaf Spijker (overleg) 28 mei 2018 07:52 (CEST)