Overleg:Heptagonaal getal

Recursieve formule

De Engelse tekst is overigens niet juist. Want als het zou gaan om een eenvoudige zevenhoek (zoals geformuleerd in de tekst), dan was het aantal

$n\cdot 7-7=7(n-1)$

Uit de constructie volgt overigens de recursieve formule

$h_{n}=h_{n-1}+7(n-1)-2(n-1)+1=h_{n-1}+5n-4$

Bob.v.R (overleg) 9 aug 2020 08:37 (CEST)

Ik heb de Engelse tekst gecorrigeerd. Bob.v.R (overleg) 9 aug 2020 08:44 (CEST)

Inderdaad volgt, met $h_{1}=1$, dat $h_{n}={\tfrac {1}{2}}n(5n-3)$ Bob.v.R (overleg) 9 aug 2020 09:14 (CEST)

En de hier gegeven recursieve formule voor $h_{n}$ wordt genoemd in ref. 1, dus er is zelfs een bron voor. Bob.v.R (overleg) 9 aug 2020 09:24 (CEST)

De formulering 'Een van de andere 2 zijden is steeds gemeenschappelijk en de andere is een verlengde zijde van de vorige figuur.' vind ik onnodig warrig en daarnaast zeer ten onrechte asymmetrisch. De door mij gehanteerde formulering 'Voor de volgende zevenhoek zijn 5 nieuwe zijden nodig met voor elk 3 bolletjes. Daarbij zijn 4 van de 7 hoekpunten dubbel geteld, dus het benodigde aantal extra bolletjes is 5×3 - 4 = 11' is m.i. een stuk duidelijker. Bob.v.R (overleg) 9 aug 2020 10:44 (CEST)

Inderdaad was de Engelse tekst niet correct. Overigens is de recursieve formule ook:

$h_{n+1}=h_{n}+7n-2n+1=h_{n}+5n+1$,

wat ik logischer eruit vind zien door de nieuwe $n+1$ te noemen en uit te drukken in de oude $n$. Madyno (overleg) 9 aug 2020 10:51 (CEST)

Wat de asymmetrie betreft, kan ik met je meevoelen. Wel is het zo dat de opbouw gedacht kan worden op één gemeenschappelijke zijde. Ik zal er nog eens over nadenken. Heb jij nog gedachten over de generalisatie? Madyno (overleg) 9 aug 2020 11:00 (CEST)

De formule $h_{n}=h_{n-1}+5n-4$ sluit ten eerste goed aan bij de door mij voorgestelde tekst (zie citaat) en ten tweede is m.i. logischer dat gesproken wordt over een te vormen $h_{n}$ dan over een te vormen '$h_{n+1}$'. Naar de generalisatie ga ik nog kijken. Bob.v.R (overleg) 9 aug 2020 13:17 (CEST)

Volgens mij is het heel gebruikelijk om $h_{n+1}$ af te leiden. Ik had de laatste wijziging van Madyno al goedgekeurd voor op de overleg pagina te kijken; dat was dus nogal voorbarig van mij. Rxcuses. Op basis van de bron (A000566) heb ik het kleinste heptagonale getal op 0 gezet. Uiteindelijk kan er maar een de kleinste zijn.Henkmetselaar (overleg) 9 aug 2020 14:21 (CEST)

Ik maak nogmaals attent op referentie 1 waar de volgende formule te vinden is:

a(n) = a(n-1) + 5*n - 4, with a(0) = 0. - Vincenzo Librandi, Nov 20 2010

Bob.v.R (overleg) 10 aug 2020 02:20 (CEST)

Ik ga daar niet in mee, maar vermeld ook jouw aanpak.

Ook andere recursies zijn te vinden in de literatuur:

From Charlie Marion, May 02 2017: (Start)

a(n+m) = a(n) + 5*n*m + a(m);

Dus voor m=1: a(n+1) = a(n) + 5*n + 1; Madyno (overleg) 10 aug 2020 11:39 (CEST)

Veralgemeende heptagonale getallen

Dit begrip wordt hier momenteel gedumpt zonder enige toelichting. Het engelstalige artikel heeft hetzelfde probleem. Bob.v.R (overleg) 25 sep 2017 17:59 (CEST)

Voor zover ik kan achterhalen is een generalisatie een ngetal k waarvoor k225, dus 1000k+225 een kwadraat is. Wat dat met heptagonale getallen te maken heeft is me (nog) een raadsel.

$1000k+225=a^{2}$

$1000k=(a+15)(a-15)$

$a=5b$

$40k=(b+3)(b-3)$

$40k+9=b^{2}$

$b=10c+3;\quad b=10c+7$

A

$40k+9=(10c+3)^{2}=100c^{2}+60c+9$

$2k=c(5c+3)$

$k=0,4,13,27,46,70,99,...$

toenamen 4,9,14,19,24,29 (= +5)

B

$40k+9=(10c+7)^{2}=100c^{2}+140c+49$

$2(k-1)=c(5c+7)$

$k=1,7,18,34,55,81,112,...$

toenamen 1,6,11,16,21,26 (= +5)

Merkwaardig is ook dat deze generalisaties de partiële sommen zijn van de rij

$a_{n}={\begin{cases}n&{\text{als }}n{\text{ oneven is}}\\{\tfrac {3}{2}}n&{\text{als }}n{\text{ even is}}\end{cases}}$

0,1,3,3,6,5,9,7,12,9,...

$\sum _{n=0}^{m}a_{n}=\sum _{n=1}^{m}n+\sum _{n=1}^{\lfloor m/2\rfloor }n=T_{m}+T_{\lfloor m/2\rfloor }$

Madyno (overleg) 8 aug 2020 22:22 (CEST)

Volgens de tweede bron zijn de gegeneraliseerde heptagonale getallen gewoon die in de formule $h_{n}=n(5n-3)/2$ met alle integer indices (niet noodzakelijk niet-negatief). Wat de gegeven formule $T_{n}+T_{\frac {n}{2}}$ ermee te maken heeft snap ik niet goed.Henkmetselaar (overleg) 9 aug 2020 14:32 (CEST)

Dit overleg was verwijderd, maar ik heb het weer teruggeplaatst, zodat anderen het kunnen teruglezen. Als ik de bewerkingen goed heb gevolgd, dan is inmiddels gebleken dat de onduidelijkheid werd veroorzaakt door een slechte vertaling. Bob.v.R (overleg) 10 aug 2020 19:31 (CEST)