Overleg:Imaginaire eenheid

Ik heb de "waarschuwing" over de wortel uit -1 verwijderd van de pagina. Hij was ongetwijfeld goed bedoeld, maar hij klopt niet. Het geciteerde voorbeeld van een tegenspraak die ontstaat door i als de wortel uit -1 te behandelen:

$-1=i*i={\sqrt {-1}}*{\sqrt {-1}}={\sqrt {-1*-1}}={\sqrt {1}}=1$

gaat er namelijk ten onrechte vanuit dat in de complexe getallen de regel sqrt(ab) = sqrt(a)sqrt(b) in stand blijft. Neem echter a = (-8 + i) en b = (-3 + 2i), vul deze waarden in en er volgt onmiddellijk dat de linker- en rechterkant niet aan elkaar gelijk zijn. -- BenTels 18 jan 2005 23:29 (CET)

Er wordt gewaarschuwd tegen het behandelen van i als de wortel uit -1; als zodanig behandelen zou betekenen dat ook de rekenregels voor het werken met wortels toe worden gepast. Zoals jij ook aangeeft mogen echter deze rekenregels (zoals sqrt(ab) = sqrt(a)sqrt(b)) niet worden toegepast op complexe getallen. Ik ben het dus niet eens met het verwijderen van de waarschuwing, en zie in jouw bovenstaande stukje ook geen overtuigend argument om de waarschuwing te verwijderen. Sterker nog, ik zie er eerder een argument in om de waarschuwing te laten staan. Ik denk dat inderdaad de waarschuwing aan de lezer terecht is, want velen kunnen hier anders makkelijk de fout in gaan of het spoor bijster raken. Bob.v.R 20 jan 2005 00:23 (CET)

De "waarschuwing" over de wortel uit -1 is incorrect: er geldt wel degelijke $i={\sqrt {-1}}$!!!

De "rekenregel" ${\sqrt {a.b}}={\sqrt {a}}{\sqrt {b}}$ is echter incorrect voor complexe getallen!!! Er dient dus gewaarschuwd te worden voor deze rekenregel en niet voor $i={\sqrt {-1}}$!!! Starscream 21 dec 2005 17:45 (CET)

De (vierkants-)wortelfunctie is m.i. uitsluitend gedefinieerd voor positieve reële getallen. Ik ben het dus met de zienswijze van Starscream niet eens. Bob.v.R 5 feb 2006 00:56 (CET)

Ik ben weliswaar geen afgestudeerd wiskundige, maar het lijkt erop dat u hier iets over het hoofd ziet. Voor zover ik weet geldt namelijk: ${\sqrt {-1}}=\pm i$. Daarmee wordt bovenstaande "bewijs uit het ongerijmde" een stuk minder ongerijmd:

$\pm 1=(\pm i)*(\pm i)={\sqrt {-1}}*{\sqrt {-1}}={\sqrt {-1*-1}}={\sqrt {1}}=1$

De 'foute' schakel in de keten was niet de uitdrukking ${\sqrt {-1}}$, maar de gelijkheid $i={\sqrt {-1}}$: dat is een halve waarheid. Accoord?

Koenb 13 jul 2006 21:38 (CEST)

Sorry, kan je iets duidelijker aangeven wat jij verstaat onder $\pm i$? Als je de verzameling {-i, i} bedoelt, dan beweer je dus ${\sqrt {-1}}=\{-i,i\}$. Daar ben ik het dan grondig mee oneens. Het kan ook dat je iets anders bedoelt. Dan zou ik graag weten wat. Bob.v.R 14 jul 2006 23:00 (CEST)

$-1$ heeft inderdaad twee wortels, zoals $+1$ ook twee wortels heeft, namelijk $+1$ en $-1$. Zoals je weet is de vierkantswortel de inverse van het kwadraat, waarvoor geldt dat elke waarde van het bereik wordt bereikt door twee verschillende (in één geval 2 samenvallende) waarden uit het domein.

Beste Koenb, kennelijk heeft de verwarring waartegen ik waarschuw bij jou helaas toch toegeslagen: $+1\,$ heeft één wortel en meer niet: ${\sqrt {1}}=1$, zoals je zelf hierboven om 21:38 uur ook volkomen terecht aangeeft.

Om misverstanden te voorkomen is het wellicht verstandig om wijzigingen op wiskundige pagina's vooraf even te overleggen (zoals we nu ook doen). Groeten, Bob.v.R 14 jul 2006 23:59 (CEST)

Zie bijvoorbeeld het artikel vierkantswortel. Ook het artikel wortel (wiskunde) bevat de nodige informatie. Groeten, Bob.v.R 15 jul 2006 00:04 (CEST)

Van een misverstand is geen sprake, meer van een onvolkomen inzicht, als je het mij vraagt. Kijk nou eens scherp naar deze formulering uit die aangeprezen pagina Vierkantswortel: ... is het positieve getal b waarvoor geldt dat het bij kwadrateren a oplevert. Zowel a als -a leveren bij kwadrateren b op, dus waarom dan die toevoeging "positieve"? Het antwoord is: nergens om. Die eis heeft geen enkel nut. Erger: het halveert het bereik van de wortelfunctie, wat in wezen hetzelfde is als het domein van de kwadraatfunctie halveren (dwz. beweren dat kwadraten niet gedefinieerd zijn voor negatieve getallen). Zie je dat symmetrie-argument, of niet? Koenb 15 jul 2006 00:42 (CEST)

Een definitie is nu eenmaal zoals hij is, en meestal om goede redenen. In dit geval is de definitie van vierkantswortel dusdanig gekozen dat er een functie ontstaat: een bewerking die aan elk element uit het domein maximaal één beeld toevoegt. De vergelijking $x^{2}=9$ heeft overigens wel twee oplossingen, namelijk $+{\sqrt {9}}$ en $-{\sqrt {9}}$. Echter, ${\sqrt {9}}$ is heel duidelijk één getal (namelijk 3) en geen twee getallen. Symmetrisch of niet, zo is de definitie. Anders was het helemaal geen functie namelijk.

Je gaat hier toch hoop ik niet in alle ernst beweren dat het artikel 'vierkantswortel' op dit punt onjuist zou zijn? Groeten, Bob.v.R 15 jul 2006 02:22 (CEST)

Je hebt gelijk; mijn denkfout was dat ik ${\sqrt {x}}$ opvatte als de inverse van $x^{2}$. Als je de definitie van vierkantswortel vasthoudt voor complexe getallen, bestaan er geen vierkantswortels van negatieve getallen, omdat je van een imaginair getal niet kunt zeggen of het positief of negatief is. Ik zal mijn bijdragen nog eens kritisch bezien. Koenb 15 jul 2006 09:09 (CEST)

Veel succes hierbij! Goed weekend, Bob.v.R 15 jul 2006 13:51 (CEST)

Na enig nadenken en lezen ben ik tot een gematigd inzicht gekomen dat toch weer iets afwijkt van het vorige. Wat is er namelijk aan de hand? De vierkantswortel mag dan op het reële domein beperkt zijn tot het eerste kwadrant, op het complexe domein zijn de regels losser. Lees bijvoorbeeld dit fragment uit het artikel Complex getal:

Hieruit kunnen we meteen afleiden wat de ne-machtswortels van een complex getal z is. Dit zijn alle getallen w ...

Inderdaad: méér dan één getal! Voor het niet al te complexe getal z=-1 geldt, bij verheffing tot de macht een half (vierkantsworteltrekken dus), dat er twee (complex geconjugeerde) getallen w zijn, te weten i en -i.

Mijn uiteindelijke standpunt is dit: Bij het vaststellen van de regels mbt vierkantsworteltrekken moet je vermelden of je het hebt over het reële of over het complexe domein. Definitie van i vanuit de wortel uit -1 heeft op het reële domein geen betekenis, omdat dat tegen een van de twee afspraken is. Wil je dat toch doen, dan moet je die andere afspraak ook vergeten, namelijk dat het resultaat van worteltrekken niet negatief (of erger nog: imaginair) mag zijn. Op het complexe domein vervallen op consequente wijze beide afspraken, zodat het door mij gewraakte 'bewijs uit het ongerijmde' er daar als volgt uit ziet:

$\pm 1=(\pm i)*(\pm i)={\sqrt {-1}}*{\sqrt {-1}}={\sqrt {-1*-1}}={\sqrt {1}}=\pm 1$

Dat is een waarheid als een koe en er staat niets ongerijmds in (voor de zekerheid nog een keer: bij toepassing op het domein van complexe getallen). Koenb 15 jul 2006 23:27 (CEST)

Inderdaad worden bij complexe getallen dit soort definities soms verruimd. Twee opmerkingen:

• gezien de aanzienlijke kans op misverstanden ben ik van mening dat het wortelteken uitsluitend zou moeten worden gebruikt voor positieve reële getallen; maar de meningen zijn daarover verdeeld
• als ik jou goed begrijp dan versta je hier onder $\pm 1$ een verzameling, namelijk $\,\{-1,1\}$. Je praat dan dus blijkbaar ineens over vergelijkingen met verzamelingen, en niet meer over vergelijkingen met getallen. Dat mag je op zich wel doen, maar het blijft dan scherp opletten.

Bob.v.R 15 jul 2006 23:47 (CEST)

Complexe vlak

In mijn wiskunde opleiding die ik volg, leren wij o.a. ook over de imaginaire eenheid, en dat is een onderdeel binnen de wiskunde waar mijn interesse in ieder geval ligt. Er wordt in dit artikel te weinig aandacht besteed, vind ik, aan bepaalde gelijkheden, namelijk de volgende:

1. z=a+bi (algemene formule imaginair verband) 2. z=rho(cos(phi)+sin(phi)i) (met rho is het argument van z - de wortel van a^2+b^2 en phi is de hoek die z maakt gezien vanuit de positieve reële as) 3. z=rho*e^(i*phi) (met e is het getal van Euler) 4. e^(i*phi)=cos(phi)+sin(phi)i

Ten tweede wil ik opmerken dat i niet gedefinieerd is in het complexe vlak, waarmee ik bedoel dat we de vergelijking x^2+4=0 kunnen oplossen door eerst 4 naar de andere kant te brengen dat wordt -4 en dan -4 te schrijven als i^2*4 en dan zijn de oplossingen dus +iwortel(4) of -wortel(4) dus 2i of -2i! Dit is nogal een discussiepunt binnen de hoogleraren of i gedefinieerd is in het complexe vlak.
Bovenstaande niet middels vier tildes (~) ondertekende overlegbijdrage is op 7 februari 2015 om 16:49 uur geplaatst door Jan Eerland.

Beste Jan, de meer algemene onderwerpen die je hier noemt worden behandeld in het overzichtsartikel Complex getal. Groeten, Bob.v.R (overleg) 8 feb 2015 15:45 (CET)

weergave van formules

De fout ligt in de toepassing van de rekenregel a ⋅ b = a b {\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}} {\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}.

Op mijn computer ziet deze formule er raar uit. De onderkanten van de worteltekens liggen niet op één (horizontale) lijn. Dit gebeurt zowel met IE als met Chrome. Wat kan hier aan de hand zijn?
Bovenstaande niet middels vier tildes ondertekende bijdrage is hier op 1 dec 2018 om 23:36 uur geplaatst door 94.209.70.111.