Overleg:Paraboolconstante

overeenstemming met de andere talen

oude afbeelding en tekst:

Parabool met brandpunt $F$, richtlijn $r$ en latus rectum $ED$

berekening van de paraboolconstante

Snijdt het latus rectum de parabool in de punten $D=(t,0)$ en $E=(-t,0)$, dan is dus:

$P={\frac {{\text{booglengte}}(EOD)}{|FR|}}={\tfrac {1}{p}}\int _{-t}^{t}{{\sqrt {1+{{({\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})}^{2}}}}\mathrm {d} x}={\tfrac {1}{p}}\int _{-t}^{t}{{\sqrt {1+{\tfrac {{x}^{2}}{{p}^{2}}}}}\mathrm {d} x}$

Met de substitutie $x=p\cdot t$ is $\mathrm {d} x=p\ \mathrm {d} t$. Daarmee is:

$P={\textstyle {1 \over p}}\int _{-\ 1}^{1}{{\sqrt {1+{t^{2}}}}\ \cdot \ p\ \ \mathrm {d} t}=\int _{-\ 1}^{1}{{\sqrt {1+{t^{2}}\ }}\mathrm {d} t}=2\int _{0}^{1}{{\sqrt {1+{t^{2}}\ }}\mathrm {d} t}$

Hieruit blijkt dat de waarde van $P$ onafhankelijk is van de parameter $p$ van de parabool, dus voor iedere parabool hetzelfde. Dit volgt al uit het feit dat alle parabolen gelijkvormig zijn met de parabool $y={{x}^{2}}$.

Verdere berekening van de integraal geeft dan met gebruik van de lijst van primitieven van irrationale functies:

$P=\left[t{\sqrt {1+{{t}^{2}}\ }}+\ln(t+{\sqrt {1+{{t}^{2}}\ }})\right]_{\ 0}^{\ 1}={\sqrt {2\ }}+\ln(1+{\sqrt {2\ }})\approx 2,29558714939$

ChristiaanPR (overleg) 19 sep 2023 16:41 (CEST)