In de stochastiek is een poissonproces een telproces met onafhankelijke aangroeiingen die poissonverdeeld zijn en wel zodanig dat de parameter evenredig is met de lengte van het tijdsinterval. De evenredigheidsconstante wordt de intensiteit van het proces genoemd. De term poissonproces stamt van de onderliggende poissonverdeling, genoemd naar de Franse wiskundige Siméon Poisson, die overigens zelf nooit poissonprocessen heeft bestudeerd.
Het stochastische proces
, in continue tijd
, heet een poissonproces met intensiteit
als het voldoet aan:
![{\displaystyle N_{t}(\omega )\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8b1dd868efed74daeffa55403bbef5dd9973dde)
![{\displaystyle N_{0}(\omega )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca06ad29b09a183f181c71ef0960fc07776274b6)
is poissonverdeeld met parameter ![{\displaystyle \lambda t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e9017f19d3490ab50aa25efacb8671db1ac99e)
- voor alle
en alle
zijn de aangroeiingen
onderling onafhankelijk
Uit de eisen 3 en 4 volgt dat voor alle
de aangroeiing
poissonverdeeld is met parameter
.
De verwachtingswaarde is:
.
De variantie is:
.
De covariantie voor
is:
.
De correlatie wordt voor
gegeven door de coëfficiënt:
.
Een poissonproces met intensiteit
is een geboorte- en sterfteproces zonder sterfte, dus met
voor alle
en een constante geboorte-intensiteit
. De geboorten in het interval
zijn gegeven het aantal
uniform verdeeld op het interval. Voor het tijdstip
van de
-de geboorte geldt:
![{\displaystyle P(T_{n}\leq t)=P(N_{t}\geq n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c91d57bddeeddbe23f37f473eceba63d84dbd7)
Voor de tijd tussen twee geboorten, de tussenaankomsttijd, volgt dan:
![{\displaystyle P(T_{n+1}-T_{n}\leq v)=P(N_{v}\geq 1)=1-P(N_{v}=0)=1-e^{-\lambda v}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f8ebc24e6a505ea288d646d2c351956db2c1b1)
De tussenaankomsttijd is dus exponentieel verdeeld met parameter
.