Parrott werd geboren in de Ierse hoofdstad Dublin en begon met voetballen bij Belvedere. Hij werd in 2017 opgenomen in de jeugdopleiding van Tottenham Hotspur. Hij tekende op zijn zeventiende verjaardag zijn eerste profcontract. Parrott maakte op 24 september 2019 zijn debuut in het eerste elftal van Tottenham, tijdens een wedstrijd in de League Cup tegen Colchester United. Hij speelde op 7 december 2019 ook zijn eerste wedstrijd in de Premier League, tegen Burnley.
Na zijn debuutseizoen begon voor Parrott een reeks huurperiodes. Tottenham verhuurde hem in augustus 2020 aan Millwall, maar hier stond hij in het half jaar dat hij er was drie maanden aan de kant met enkelklachten. Hij bracht daarna de tweede helft van het seizoen door bij Ipswich Town, een niveau lager in de League One. Parrott beleefde in 2021/22 wel een productieve periode bij Milton Keynes Dons, waarna hij 2022/23 doorbracht bij Preston North End, in de Championship. Tottenham verhuurde Parrott in augustus 2023 voor een jaar aan Excelsior Rotterdam, zijn eerste club buiten het Verenigd Koninkrijk.
Parrott maakte deel uit van verschillende Iers nationale jeugdselecties. Hij nam met Ierland –17 deel aan het EK –17 van 2018. Parrott debuteerde op 14 november 2019 in het Iers voetbalelftal, in een oefeninterland tegen Nieuw-Zeeland. Hij moest daarna een jaar wachten op zijn volgende interland en maakte vervolgens regelmatig deel uit van de Ierse nationale ploeg. Parrott maakte op 3 juni 2021 zijn eerste en tweede doelpunt voor Ierland. Hij scoorde toen tweemaal tijdens een oefeninterland tegen Andorra (1–4).