Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Gegeven twee driehoeken
△
A
1
B
1
C
1
{\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}
en
△
A
2
B
2
C
2
{\displaystyle \triangle A_{2}B_{2}C_{2}}
. De kruisingsdriehoek van deze driehoeken is de driehoek met hoekpunten:
A
3
{\displaystyle A_{3}}
het snijpunt van lijnen
B
1
C
2
{\displaystyle B_{1}C_{2}}
en
B
2
C
1
{\displaystyle B_{2}C_{1}}
B
3
{\displaystyle B_{3}}
het snijpunt van lijnen
A
1
C
2
{\displaystyle A_{1}C_{2}}
en
A
2
C
1
{\displaystyle A_{2}C_{1}}
C
3
{\displaystyle C_{3}}
het snijpunt van lijnen
A
1
B
2
{\displaystyle A_{1}B_{2}}
en
A
2
B
1
{\displaystyle A_{2}B_{1}}
Met deze nieuwe driehoek is iedere driehoek de kruisingsdriehoek van de andere twee. De drie driehoeken hebben hier index 1, 2 en 3.
△
A
1
B
1
C
1
{\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}
wordt in de meeste gevallen als referentiedriehoek gezien en
△
A
3
B
3
C
3
{\displaystyle \triangle A_{3}B_{3}C_{3}}
heet de kruisingsdriehoek van
△
A
2
B
2
C
2
{\displaystyle \triangle A_{2}B_{2}C_{2}}
.
Als
△
A
1
B
1
C
1
{\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}
en
△
A
2
B
2
C
2
{\displaystyle \triangle A_{2}B_{2}C_{2}}
perspectief zijn, zijn
△
A
1
B
1
C
1
{\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}
en
△
A
3
B
3
C
3
{\displaystyle \triangle A_{3}B_{3}C_{3}}
dat ook, evenals
△
A
2
B
2
C
2
{\displaystyle \triangle A_{2}B_{2}C_{2}}
en
△
A
3
B
3
C
3
{\displaystyle \triangle A_{3}B_{3}C_{3}}
.
Voor de drie perspectiviteitscentra
D
1
{\displaystyle D_{1}}
van
△
A
2
B
2
C
2
{\displaystyle \triangle A_{2}B_{2}C_{2}}
en
△
A
3
B
3
C
3
{\displaystyle \triangle A_{3}B_{3}C_{3}}
,
D
2
{\displaystyle D_{2}}
van
△
A
1
B
1
C
1
{\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}
en
△
A
3
B
3
C
3
{\displaystyle \triangle A_{3}B_{3}C_{3}}
en
D
3
{\displaystyle D_{3}}
van
△
A
1
B
1
C
1
{\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}
en
△
A
2
B
2
C
2
{\displaystyle \triangle A_{2}B_{2}C_{2}}
geldt, dat ze op één lijn liggen . Deze lijn heet de perspectiviteitsas van de drie driehoeken.
Hierdoor vormen de viertallen punten
A
i
B
i
C
i
D
i
{\displaystyle A_{i}B_{i}C_{i}D_{i}}
voor
i
=
1
,
2
{\displaystyle i=1,2}
en
3
{\displaystyle 3}
de projectie op het platte vlak van een desmische configuratie . Om die reden worden, als
△
A
1
B
1
C
1
{\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}
als referentiedriehoek wordt gezien,
△
A
2
B
2
C
2
{\displaystyle \triangle A_{2}B_{2}C_{2}}
en
△
A
3
B
3
C
3
{\displaystyle \triangle A_{3}B_{3}C_{3}}
desmisch gekoppeld genoemd.[1]
We kunnen de kruisingsdriehoeken kantelen: ook elk van de driehoeken
△
A
1
A
2
A
3
{\displaystyle \triangle A_{1}A_{2}A_{3}}
,
△
B
1
B
2
B
3
{\displaystyle \triangle B_{1}B_{2}B_{3}}
en
△
C
1
C
2
C
3
{\displaystyle \triangle C_{1}C_{2}C_{3}}
is kruisingsdriehoek van de andere twee. Bovendien als de driehoeken
△
A
1
B
1
C
1
{\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}
en
△
A
2
B
2
C
2
{\displaystyle \triangle A_{2}B_{2}C_{2}}
perspectief zijn, dan is elk paar van deze drie dat ook. Met de punten
A
4
=
A
1
A
2
∩
A
2
A
3
∩
A
1
A
3
{\displaystyle A_{4}=A_{1}A_{2}\cap A_{2}A_{3}\cap A_{1}A_{3}}
B
4
=
B
1
B
2
∩
B
2
B
3
∩
B
1
B
3
{\displaystyle B_{4}=B_{1}B_{2}\cap B_{2}B_{3}\cap B_{1}B_{3}}
C
4
=
C
1
C
2
∩
C
2
C
3
∩
C
1
C
3
{\displaystyle C_{4}=C_{1}C_{2}\cap C_{2}C_{3}\cap C_{1}C_{3}}
op de perspectiviteitsas, krijgen we weer een desmische configuratie.
Als de hoekpunten van
△
A
1
B
1
C
1
{\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}
en
△
A
2
B
2
C
2
{\displaystyle \triangle A_{2}B_{2}C_{2}}
op een kegelsnede liggen, dan is volgens de stelling van Pascal hun kruisingsdriehoek ontaard .
Is
△
A
1
B
1
C
1
{\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}
ingeschreven in
△
A
2
B
2
C
2
{\displaystyle \triangle A_{2}B_{2}C_{2}}
, dan is hun kruisingsdriehoek
△
A
2
B
2
C
2
{\displaystyle \triangle A_{2}B_{2}C_{2}}
zelf.