Bürki doorliep de jeugdreeksen van BSC Young Boys. In 2012 maakte hij de overstap naar de eerste ploeg. Tijdens het seizoen 2015/16 en 2016/17 werd hij uitgeleend aan FC Thun. In april 2018 tekende Bürki een contract voor 3 seizoenen (met 1 jaar optie) bij SV Zulte Waregem. Zijn debuut in de Eerste klasse A maakte hij op 4 augustus 2018 in de wedstrijd tegen KAA Gent. Hij kwam 2 minuten voor tijd Erdin Demir vervangen. De wedstrijd eindigde op 1–1.[1]
Bürki doorliep ook verschillende Zwitsers jeugdploegen. Hij maakte deel uit van de U18, U20 en U21.