Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de lineaire algebra , een onderdeel van de wiskunde , is een matrixoptelling een operatie waar twee matrices bij elkaar worden opgeteld door de corresponderende elementen op te tellen. Daarnaast bestaat er nog een tweede operatie, de direct som, die ook als een soort van optelling van matrices kan worden beschouwd.
De gebruikelijke matrixoptelling wordt gedefinieerd voor twee matrices met dezelfde dimensie . De som van twee
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
[
1
3
1
0
1
2
]
+
[
0
0
7
5
2
1
]
=
[
1
+
0
3
+
0
1
+
7
0
+
5
1
+
2
2
+
1
]
=
[
1
3
8
5
3
3
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}}
Men kan ook een matrix van een ander matrix aftrekken , zolang beide matrices dezelfde dimensie hebben. De matrix
A
−
B
{\displaystyle A-B}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
[
1
3
1
0
1
2
]
−
[
0
0
7
5
2
1
]
=
[
1
−
0
3
−
0
1
−
7
0
−
5
1
−
2
2
−
1
]
=
[
1
3
−
6
−
5
−
1
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-0&3-0\\1-7&0-5\\1-2&2-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\-6&-5\\-1&1\end{bmatrix}}}
Een andere operatie, die minder vaak wordt gebruikt, is de directe som. De directe som van de matrices
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
p
×
q
{\displaystyle p\times q}
(
m
+
p
)
×
(
n
+
q
)
{\displaystyle (m+p)\times (n+q)}
A
⊕
B
=
[
A
0
0
B
]
=
[
a
11
⋯
a
1
n
0
⋯
0
⋮
⋱
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
⋯
a
m
n
0
⋯
0
0
⋯
0
b
11
⋯
b
1
q
⋮
⋱
⋮
⋮
⋱
⋮
0
⋯
0
b
p
1
⋯
b
p
q
]
{\displaystyle A\oplus B={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}}
Bijvoorbeeld:
[
1
3
2
2
3
1
]
⊕
[
1
6
0
1
]
=
[
1
3
2
0
0
2
3
1
0
0
0
0
0
1
6
0
0
0
0
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}}
Merk op dat de directe som van twee vierkante matrices een bogenmatrix van een graaf of een multigraaf kan weergeven met één component voor elke direct op te tellen element.
Merk ook op dat enig element in de directe som van twee vectorruimten van matrices kan worden weergegeven als de directe som van twee matrices.
In het algemeen kan de directe som van
n
{\displaystyle n}
⨁
i
=
1
n
A
i
=
diag
(
A
1
,
A
2
,
A
3
,
…
,
A
n
)
=
[
A
1
0
…
0
0
A
2
…
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
…
A
n
]
.
{\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}A_{i}={\mbox{diag}}(A_{1},A_{2},A_{3},\ldots ,A_{n})={\begin{bmatrix}A_{1}&0&\ldots &0\\0&A_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &A_{n}\end{bmatrix}}.}
De matrixoptelling heeft enkele eigenschappen. Als
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
Inwendigheid: de matrixsom van
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
Associativiteit :
A
+
B
+
C
=
(
A
+
B
)
+
C
=
A
+
(
B
+
C
)
{\displaystyle A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)\,}
Neutraliteit: zij
O
{\displaystyle O}
nulmatrix , dan is
A
+
O
=
O
+
A
=
A
{\displaystyle A+O=O+A=A}
Symmetrie : zij
−
A
{\displaystyle -A}
A
{\displaystyle A}
A
+
(
−
A
)
=
(
−
A
)
+
A
=
O
{\displaystyle A+(-A)=(-A)+A=O}
