Overleg:Diagonaalbewijs van Cantor

Bewijs is fout

Dit bewijs is fout. Ik kan direct een bijectie tussen de natuurlijke getallen en de reële getallen tussen twee opeenvolgende gehele getallen verzinnen. Meer nog, met een beetje moeite kan ik er een verzinnen tussen twee willekeurige gehele getallen. Door één van de vrijheidsgraden van de reële getallen op te heffen, is de verzameling aftelbaar gemaakt.

Overigens komt het bewijs hier gegeven niet overeen met de Engelse versie, die mij wel juist lijkt. Aangezien ik zelf geen wiskundige ben, laat ik het aan iemand met kennis van zaken over om het artikel in orde te brengen.

Aulis

Hallo Aulis,

De Nederlandstalige Wikipedia kiest er vaak voor om wisundige bewijzen in iets informelere vorm te beschrijven. Ik kan echter geen grote fouten ontdekken.

Ik vind het overigens ook vreemd dat je de Engelse versie van het bewijs juist lijkt, terwijl je tegelijkertijd beweert dat je een bijectie tussen de natuurlijke en reële getallen kunt verzinnen: het Engelse bewijs bewijst namelijk net zo goed dat dat onmogelijk is. Je opmerkingen in je eerste paragraaf doen mij vermoeden dat je niet weet wat een bijectie is: aan elk natuurlijk getal moet een (verschillend) reëel getal worden toegekend, en elk reëel getal moet aan een natuurlijk getal worden toegekend. Je hebt het alleen over gehele getallen, dus aan die tweede eis voldoen jouw bijecties in ieder geval niet.

Hoopje 16 aug 2009 17:27 (CEST)

Maar voor de reële getallen is dan inderdaad waar, maar niet meer als ze beperkt worden tussen twee getallen. Dan worden ze plots wel aftelbaar, maar wel nog steeds oneindig groot.

Ik heb nog geen idee hoe ik links maak hier, maar de tweede zin in het tweede deel Het diagonaalbewijs zegt dat deze verzameling (Reële getallen tussen 0 en 1) overaftelbaar is. Een éénvouding voorbeeld om hier te nemen is de nul en de komma weg te laten en het getal om te keren. Zo bekomt men (0,0;0),(0,1;1),(0,2;2),(0,01;10),(0,21;12),... Het is duidelijk dat dit wel duidelijk een bijectie is.

Over jou commentaar van gehele getallen, die slaat op niets. Gehele getallen zijn even goed aftelbaar en vormen evengoed een bijectie met de natuurlijke getallen, dus of je nu bijecteert op de gehele of natuurlijke getallen maakt niets uit. Niet zo proper wiskundig verwoord, dus als het niet duidelijk is: sorry.

Misschien was mijn initiële commentaar ook niet zo duidelijk.

Ik zal het dus nog maar eens herhalen, het gaat wel degelijk om een deelverzameling van de reële getallen (specifiek die tussen 0 en 1, zoals vermeld in het artikel, en niet om de volledige set van de reële getallen. Dat die overaftelbaar is, is bewezen.

Ok, ik snap nu wat je met "een bijectie tussen de natuurlijke getallen en de reële getallen tussen twee opeenvolgende gehele getallen" bedoelt. Er zijn echter wel degelijk overaftelbaar veel reële getallen tussen 0 en 1 (en tussen alle andere opeenvolgende gehele getallen). Jouw bijectie is geen bijectie. De grote meerderheid van de reële getallen heeft namelijk een oneindige decimale weergave; deze getallen kun je niet zomaar omdraaien omdat er geen laatste getal achter de komma is. Aan welk natuurlijk getal wordt bijvoorbeeld volgens jouw "bijectie" 1/3 = 0,333333... gekoppeld? Of pi? Hoopje 17 aug 2009 00:56 (CEST)

Ah, dat is dom van mezelf. Natuurlijke getallen zijn onbegrensd maar niet oneindig. Ok, vergeet dan maar wat ik gezegd heb, dan klopt het bewijs wel.

Zo hee wat een wiskundige discussie is dit zeg, m'n hoofd gaat er helemaal van bonken (sorry voor de nutteloosheid van deze opmerking) Hijisk (overleg)

Een paar opmerkingen

Onbegrensd is bijvoorbeeld een bol, maar wel eindig.

Natuurlijke getallen zijn wel oneindig, je kunt oneindig lang doortellen. Voor elke natuurlijk getal n is er ook een getal n+1, en er is ook een getal n tot de macht n, om wat sneller bij grotere getallen te komen. Zo door redenerend zie je ook in dat elk willekeurig natuurlijk getal oneindig groot is. Ik denk dat het diagonaalbewijs een cirkelredenering is. Dat wat hij moet bewijzen gebruikt hij als bewijs. De lijst is immers oneindig lang.

Zowel de verzameling van natuurlijke getallen als de verzameling van reële getallen zijn allebei open verzamelingen. Ze kunnen nooit alle elementen bevatten. Wel kunnen we uitspraken doen over elk element. Zo is geen enkel natuurlijk getal het laatste getal en net zo is er bij elk reël getal niet een ander getal dat eraan grenst. Op grond van die analogie zou je verwachten dat er wel een bijectie tussen beide verzamelingen is.

Ook vraag ik me af in hoeverre de decimale weergave van een getal belangrijk is. pi is bijvoorbeeld een bepaalt getal dat heel exact bepaalt is(precies de omtrek van een eenheidscirkel) en zo zijn er nog een paar getallen, die met een woord of letter weergegeven worden. In feite heb je te maken met lengtes van een lijnstuk die exact bepaald is, een komma komt daarbij niet kijken. De reële getallen stel je dan voor met alle lengtes van een lijn.

Als er oneindig veel namen zijn, dan kun je elk reëel getal een naam geven en je kunt elk natuurlijk getal ook een naam geven. Of zijn er veel meer namen dan reële getallen? GerardBuisman

Hallo,

Ten eerste, zoiets als een "open" verzameling bestaat niet. Natuurlijk kan je in het echt nooit alle natuurlijke getallen opschrijven -- het zijn er immers oneindig veel --, maar we doen hier wiskunde. En in de wiskunde kan je oneindige verzamelingen wel als geheel opvatten.

Je zegt, "Zo door redenerend zie je ook in dat elk willekeurig natuurlijk getal oneindig groot is.". 3 is een natuurlijk getal. Jij beweert dus dat 3 oneindig is? Dat is natuurlijk onzin. Elk natuurlijk getal is eindig (ze kunnen wel heel groot worden, maar ze blijven eindig). Er is echter geen grens aan de grootte van een natuurlijk getal, dus er zijn oneindig veel natuurlijke getallen. Er zijn dus oneindig veel natuurlijke getallen die elk op zich eindig zijn.

Bij reële getallen is er iets anders aan de hand. Hoewel elk reëel getal eindig is in de zin dat het een eindige lengte representeert, bevat een reëel oneindig veel informatie, namelijk oneindig veel getallen na de decimale komma (terwijl het elk natuurlijk getal door een eindig rijtje cijfers kunt opschrijven). Als je het zo beziet is het niet meer zo verrassend dat er geen bijectie tussen natuurlijke en reële getallen bestaat.

Je hebt natuurlijk gelijk dat je kunt afvragen hoe belangrijk die decimale representatie eigenlijk is. Het antwoord op die vraag is: we kunnen bewijzen dat de decimale representatie belangrijk is.

Je opmerkingen over namen begrijp ik niet zo, omdat ik niet weet wat je met een naam bedoelt. Als een naam een eindige rijtje symbolen is (een woord of een zin bijvoorbeeld) dat zijn er evenveel namen als natuurlijke getallen, en veel minder namen dan reële getallen.

Hoopje (overleg) 13 apr 2014 09:26 (CEST)