Overleg:Inwendig product

Ik kan niet zeggen dat er iets verkeerds is aan de notatie u met een pijltje erboven voor een vector, maar wel wordt een verkeerde suggestie gegeven dat vectoren altijd zo genoteerd moeten worden. Bovendien leidt het tot de vervelende consequentie dat niet meer de i-de component van x genoteeerd wordt als x_i. Je zou dan moeten schrijven:

${\vec {u}}=({\vec {u}}_{1},\dots ,{\vec {u}}_{n})$,

en ik denk dat de typische aanhangers van de pijltjes dat nu ook weer niet willen. De pijltjes stammen min of meer uit de experimentele en practische hoek, waar men overbodige steun zoekt in een helaas niet consistente notatie. Nijdam 31 jan 2005 01:10 (CET)

Het noteren van scalars met een pijltje erboven is iets dat naar mijn mening inderdaad niet zou moeten gebeuren. Ik kan dat echter ook niet zien als een consequentie van het met een pijltje noteren van een vector! Het voordeel van een pijltje is wel dat het voor de lezer heel duidelijk is, en het hoeft naar mijn overtuiging niet te leiden tot inconsistenties. Het pijltje wordt ook op Wikipedia door de code '\vec' binnen 'math' gefaciliteerd.

Op de huidige pagina vector (wiskunde) wordt een aantal mogelijke notaties aangegeven, waaronder die met het pijltje; het pijltje 'mag' dus. De vorige versie van deze pagina noteerde vectoren met hoofdletters; daar ben ik geen voorstander van, en ik heb met name daarom de notatie gewijzigd. Een notatie van een vector door een vette letter, dus

$\mathbf {u} =(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})$

is voor de lezer iets minder duidelijk, maar is zeker ook mogelijk. Ook in dat geval moeten we echter niet ook scalars gaan noteren met een vet symbool, want dan zou de duidelijkheid voor de lezer ver te zoeken zijn. Bob.v.R 31 jan 2005 02:52 (CET)

Hallo Bob. Het punt is dat men vaak aan notaties meer betekenis toekent dan er is. Een naam houdt in principe slechts een identificatie in en niet meer. Zeg ik dat kl--0*= een vector is, dan is dat wel lastig te onthouden, maar zal gewoon geaccepteerd moeten worden. Men kan natuurlijk afspraken maken over naamconventies. Het vervelende is dat ze vaak niet consistent zijn. Zoals boven: afspraak 1: letters met een pijltje erboven stellen vectoren voor; afspraak 2: een subindex aan een vector duidt de betrokken component aan; afspraak 3: scalairen worden genoteerd als een gewone letter. Deze 3 afspraken zijn inconsistent, zoals ik al aangaf. En wat meer is, ook een scalair is op te vatten als vector, zodat afspraak 3 al intrinsiek tegenstrijdig is. De vraag is eigenlijk: waarom willen sommigen zo graag een pijltje schrijven? Het is namelijk nergens voor nodig.Nijdam 31 jan 2005 15:00 (CET)

Toen ik een blijk wierp op de pagina "vector" zag ik dat je nu wel inconsequent bezig bent geweest. Als a en b vectoren zijn, is hun inprodukt a.b; heten de vectoren aap en noot, dan: aap.noot. Maar niet dezelfde vector de ene keer blootshoofds en dan weer met een pijl op z'n kop. In de wiskunde proberen we wel consequent te zijn.Nijdam 31 jan 2005 15:07 (CET)

Goedenavond Nijdam, het 'probleem' dat je schetst is uiteraard op te lossen door in plaats van de door jou genoemde 'afspraak 2' een andere 'afspraak 2' te hanteren, bijvoorbeeld: een component van een vector wordt aangeduid door het vectorsymbool (bv. een pijltje) achterwege te laten, en de resterende expressie te voorzien van de betreffende subindex. Laten we elkaar dus geen vliegen afvangen; het noteren van een vector met een pijltje of door middel van een vet symbool impliceert niet noodzakelijkerwijs dat er paradoxen en/of inconsistenties optreden. Ook het punt dat een scalar ook een vector kan zijn (in een ééndimensionale ruimte weliswaar, maar goed) hoeft geen problemen op te leveren. Wanneer de vector bedoeld wordt, dan wordt hij genoteerd als vector, en wanneer de scalar bedoeld wordt, dan wordt hij genoteerd als scalar.

Je opmerking 'in de wiskunde proberen we wel consequent te zijn' lijkt subtiel te suggereren dat ik dat niet wil, en dat komt niet prettig over. Maar misschien zoek ik er teveel achter. Laat ik (ten overvloede) opmerken dat ook ik zeer gaarne consequent ben.

Waar het hier omgaat, dat is de lezer. Bij een encyclopedie zijn er hopelijk lezers, en het doel zou naar mijn mening moeten zijn dat een zo groot mogelijk publiek de materie zo goed mogelijk kan begrijpen. En als de notatie het begrip kan ondersteunen, dan spreekt het voor mij vanzelf dat dan gekozen wordt voor een notatie die maximale duidelijkheid verschaft. Dit alles betekent niet dat het persé de pijltjesnotatie moet zijn. Wat ook kan is het (consequent !!) noteren van een vector met een vet symbool.

Je opmerking over de pagina vector (wiskunde) snap ik niet. Ik heb in ieder geval zelf niet zo heel veel aan deze pagina bijgedragen. Als er iets niet consistent is, dan moet het worden rechtgetrokken natuurlijk, los van de vraag wie dat nu veroorzaakt had. Bob.v.R 31 jan 2005 20:01 (CET)

Hallo Bob, je moet er inderdaad niets achterzoeken, ik heb zo'n suggestie beslist niet bedoeld. Ik probeer alleen maar consequent te zijn. Je zult met me eens zijn dat consequentie een basis is voor exacte wetenschap. Ook als we iets uitleggen aan een geinteresseerde leek, zal die daar alleen maar mee gebaat zijn. Vandaar mijn opmerking over de pagina "vector". Daar staat nu bv. de vector a en even later heet deze zelfde vector ineens ${\vec {a}}$. Omdat de notatie met het pijltje ook in de figuur wordt gehanteerd, moet de vector overal in die sectie zo heten. Overigens werden pijltjes geschreven op gerichte lijnstukken, die zo als vector werden opgevat. Daar was de vector ${\vec {PQ}}$ een andere dan ${\vec {QP}}$. Hier had het pijltje betekenis.Nijdam 1 feb 2005 00:29 (CET)

ik mis de 'definitie' van inwendig product (je weet wel; lineair, niet-ontaard, etc) MADe 24 aug 2005 09:31 (CEST)

Meetkunde????

in het artikel staat "in de GEWONE meetkunde" wat wordt hiermee bedoeld? affiene, euclidische, projectieve??? sterker nog: een inproduct is niet gedefinieerd in de meetkunde maar in de lineaire algebra. Dit wordt wel gebruikt in takken als algebraïsche meetkunde. Bovendien staat in de inleiding reeds een hoek vermeld terwijl we pas later hoek definieren aan de hand van inproduct... Heeft er iemand bezwaar tegen dzt ik dit zrtikel wat opruim?

Die gewone meetkunde vind ik ook niet geweldig, maar Jan Modaal kent wel "meetkunde", maar geen "lineaire algebra". Ofwel algemeen ("In de wiskunde...") ofwel aanvullen om het preciezer te maken ("in de meetkunde en lineaire algebra..."), is een eerste idee. Dat er al een hoek verschijnt in de inleiding, is geen probleem. Wikipedia is geen wiskundige cursus en een los artikel is dat zeker niet, om alles "op te bouwen". Bovendien heeft iedereen wel een intuïtief begrip van een "hoek" of kan dat artikel opvragen om er meer over te lezen. TD 7 jun 2008 10:35 (CEST)

Dot

In de Engelse W. wordt de term "dot -product" met de bijbehorende notatie $x\cdot y$ voorbehouden aan het standaardinproduct. Hoe zit dat? Madyno (overleg) 16 apr 2014 10:42 (CEST)

norm

De gegeven relatie

$2\langle x,y\rangle =\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +i(\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle )=\|x+y\|^{2}-\|x-iy\|^{2}$

tussen norm en inproduct in een complexe prehilbertruimte is volgens mij niet juist. Het rechterlid is namelijk altijd reëel.

Afleiding:

$\|x+y\|^{2}=(x+y,x+y)=(x,x)+(y,y)+(x,y)+(y,x)=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\Re (x,y)$

$\|x-iy\|^{2}=(x-iy,x-iy)=(x,x)+(y,y)+i(x,y)-i(y,x)=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-2\Im (x,y)$

Dus

$\|x+y\|^{2}-\|x-iy\|^{2}=2\Re (x,y)+2\Im (x,y)$

en dus niet

$2\langle x,y\rangle =2\Re (x,y)+2i\Im (x,y)$

Madyno (overleg) 17 apr 2014 02:33 (CEST)

Je hebt gelijk, ik kom op precies hetzelfde uit. De formule voor reële geval klopt overigens wel (en ik heb daar nog een formule aan toegevoegd). De formule waarover je terecht opmerkt dat deze niet juist is, werd toegevoegd op 10 mei 2007 om 00:23 door Lieven Smits.

Het eerste stuk, dus $2\langle x,y\rangle =\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +i(\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle )$, lijkt reeds incorrect te zijn.

Weliswaar is $\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle =\langle x,y\rangle +{\overline {\langle x,y\rangle }}=2.Re(\langle x,y\rangle )$

Maar $\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle =\langle x,y\rangle -{\overline {\langle x,y\rangle }}=2i.Im(\langle x,y\rangle )$

Waardoor $i(\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle )=-2.Im(\langle x,y\rangle )$

Groet, Bob.v.R (overleg) 17 apr 2014 04:49 (CEST)

De door jou toegevoegde formule is eigenlijk gewoon dezelfde als de eerste, maar dan voor -y. Is het wel zinvol die te vermelden?Madyno (overleg) 17 apr 2014 09:47 (CEST)

Goed gespot en bedankt voor de correctie! Lieven Smits (overleg) 25 apr 2014 14:42 (CEST)

Bewijs

Bij het bewijs van de equivalentie van de twee definities wordt gebruik gemaakt van de cosinusregel. En die wordt op zijn beurt bewezen gebruik makend van het inwendig product. Dit is niet fraai. Bob.v.R (overleg) 25 aug 2018 09:47 (CEST)

Extra bewijs

Ik vind de toevoeging van PerpetuumSymbiosis weinig zinvol en eigenlijk overbodig. Madyno (overleg) 25 aug 2018 19:04 (CEST)

Links

@Patrick: De links zijn naar de definitie van vectorruimte; niet specifiek naar reële of complexe vectorruimte. Madyno (overleg) 26 aug 2020 11:03 (CEST)

De definities werden aan het eind van de paragraaf gegeven, met nog wat toelichting. Ik heb daar nu een aparte paragraaf van gemaakt, en de links aangepast. - Patrick (overleg) 26 aug 2020 12:05 (CEST)

Oké. Madyno (overleg) 26 aug 2020 12:22 (CEST)

Eindige dimensie

In het artikel staat voor $\mathbb {R} ^{n}$ als algemene vorm voor het inproduct:

$\langle u,v\rangle =u^{T}Av$

Dat kan zo niet, want voor $u\in \mathbb {R} ^{n}$ is $u^{T}$ niet gedefinieerd.Madyno (overleg) 8 sep 2020 11:50 (CEST)

Dan vermoed ik dat je vindt dat de matrix A ook niet kan. Bob.v.R (overleg) 8 sep 2020 12:30 (CEST)

Nou ja, $Av$ (matrix x vector) is wel gedefinieerd, maar hoe het dan verder moet is onduidelijk. Hier speelt natuurlijk de veel gemaakte stilzwijgende identificatie van vector en kolomvector weer een rol. Madyno (overleg) 8 sep 2020 13:08 (CEST)

Hm, $Av$ is uitsluitend gedefinieerd als v (inderdaad) een kolomvector is. Bob.v.R (overleg) 8 sep 2020 13:53 (CEST)

Nee, ook voor een element $v\in \mathbb {R} ^{n}$ is $Av$ gedefinieerd Matrix (wiskunde)#Product van matrix en vector. Madyno (overleg) 8 sep 2020 16:22 (CEST)