Overleg:Tralie (wiskunde)

Idempotentie

Kan iemand het bewijs van de idempotentie toelichten? Ik zou denken: Noem $c=a\lor b$, dan

$a\lor a=a\lor (a\land (a\lor b))=a\lor (a\land c)=a$.

Madyno (overleg) 1 sep 2017 09:31 (CEST)

Ik heb het gecorrigeerd. Madyno (overleg) 1 sep 2017 09:46 (CEST)

Ordening

Ik begrijp de sectie over ordening niet. Mij lijkt die niet correct. Madyno (overleg) 10 apr 2022 23:16 (CEST)

Blijkbaar moet die zo gelezen worden dat de gegeven tralie-eigenschappen betekenen dat sup{x,y} = sup'{x,y}, dus in beide ordes dezelfde, Dan is het bijna triviaal. Madyno (overleg) 11 apr 2022 00:32 (CEST)

Definitie

Elders lees ik dat elke {x,y} een uniek sup en uniek inf heeft. Madyno (overleg) 10 apr 2022 23:18 (CEST)

Uniciteit volgt uit de definitie van sup en inf, en hoeft dus niet apart aangenomen te worden. Hoopje (overleg) 10 apr 2022 23:48 (CEST)

Heb ik ook inmidels gevonden, want poset. Madyno (overleg) 11 apr 2022 00:22 (CEST)

componenten in tralie

Waarom mag:

De hasse-diagram van een tralie kan uit meer dan een component bestaan.

er niet in? ChristiaanPR (overleg) 11 apr 2022 09:34 (CEST)

Ik heb het weggehaald omdat het zo alleen, zonder enige uitleg, vooral vragen opwerpt (bijv.: Wat is een component van een hasse-diagram, wat eigenlijk geen ongerichte graaf maar een gerichte graaf is, eigenlijk? Waarom kan ik over het supremum niet gewoon van de ene component naar de andere lopen?). Maar als je het uitbreidt met een eenvoudig voorbeeld van een tralie, waarvan het hasse-diagram meerdere componenten heeft, mag je het van mij weer terugzetten. Zulke voorbeelden bestaan er vast wel. Hoopje (overleg) 11 apr 2022 10:12 (CEST)

Notatie

Er zijn twee definities van tralie. 1. Als partieel geordende verzameling: $(L,\leq )$, em 2. als algebraische structuur: $(L,\lor ,\land )$. In het artikel lopen beide door elkaar.Madyno (overleg) 11 apr 2022 15:30 (CEST)

Ja, dat dacht is gisteren ook al. Ik heb toen de ordening bij de algebraische structuur weggehaald, omdat die net door ChristiaanPR toegevoegd was, maar eigenlijk moet dat ook nog bij de ordening gebeuren. Ik ga het nu doen :-). Hoopje (overleg) 11 apr 2022 15:43 (CEST)

Hoopje, ik heb onze wijzigingen van gisteren bekeken, maar begrijp niet wat je bedoelt. Ik heb de geschiedenis meteen na de inleiding geplaatst en door het hele artikel enkele wijzigingen in de formulering aangebracht. Jij hebt gisteren absorbtie gecorrigeerd in absorptie, maar ik zie verder geen veranderingen. ChristiaanPR (overleg) 11 apr 2022 17:20 (CEST)

Zie hier. Daar heb je $(L,\lor ,\land )$ overal in $(L,\leq ,\lor ,\land )$ veranderd. Hoopje (overleg) 11 apr 2022 17:28 (CEST)

Daarmee komt gelijk het pobleem aan het licht. Pas als in beide ordeningen de suprema en infinma dezelfde zijn, zijn de ordeningen dezelfde,Madyno (overleg) 11 apr 2022 16:39 (CEST)

Dat stond er vroeger ook al (maar niet echt duidelijk, inderdaad), omdat de gebruikte symbolen voor supremum en infimum hetzelfde waren, terwijl de ordes $\leq$ en $\leq '$ heetten. Maar ik vraag me wel af of dat deel "Ordening" wel nodig is, want eigenlijk staat hetzelfde nog een keer onder "Equivalentie van beide definities". Hoopje (overleg) 11 apr 2022 16:51 (CEST)

Het is volgens mij zo dat je voor de algebraïsche structuur de tralie als afbeelding, dus in de zin van een soort pijlenkaart, of als graaf nodig hebt. De eerste definitie legt uit hoe die afbeelding eruit ziet en de tweede definitie, die van de algebraïsche structuur, legt uit dat die afbeelding kan worden gebruikt om expressies met de twee bewerkingen $\lor$ en $\land$ en de elementen van de gegeven verzameling te evalueren. ChristiaanPR (overleg) 12 apr 2022 00:19 (CEST)

In de abstract algebra is een algebraische structuur gewoon een verzameling met een aantal operaties en constanten op die verzameling, waarvoor, meestal in de vorm van een aantal gelijkheden, een aantal eigenschappen is vastgelegd. Een groep is bijvoorbeeld een algebraische structuur, of een monoïde. En een tralie kan dus ook als zodanig worden opgevat: een verzameling met twee operaties (sup en inf) waarvoor bepaalde gelijkheden gelden. Het hele punt van die twee definities is nu juist dat je een tralie op twee manier kunt definieren: als orde die bepaalde eigenschappen heeft (op basis daarvan kunnen we de operaties definieren), of als operaties die aan bepaalde vergelijkingen voldoen (op basis daarvan kan dan de orde worden gedefinieerd). Hoopje (overleg) 12 apr 2022 08:25 (CEST)

Het was logisch geweest eerst te bevestigen wat ik zeg. Het klopt wat je zegt, maar is niet erg samenhangend. Het verband tussen beide definities moet naar voren worden gebracht. ChristiaanPR (overleg) 12 apr 2022 09:32 (CEST)

Waarom is het logisch eerst te bevestigen wat jij zegt, als jij zegt dat "je voor de algebraïsche structuur de tralie als afbeelding, dus in de zin van een soort pijlenkaart, of als graaf nodig hebt", wat ik daarna weerlegd heb? Hoopje (overleg) 12 apr 2022 09:42 (CEST)

Jij hebt niets weerlegd, je houdt alleen een vaag verhaal over verzamelingenleer. ChristiaanPR (overleg) 12 apr 2022 22:11 (CEST)

Het is waarschijnlijk tijdverspilling, maar ik waag nog een poging. Die twee definities definieren niet twee aspecten van een tralie, die definieren allebei een tralie (het feit dat we een paragraaf hebben waarin bewezen wordt dat die twee definities equivalent zijn, had jou erop kunnen wijzen dat je gewoon ongelijk hebt). En als die tweede definitie gebaseerd zou zijn op de eerste, dan zouden we hem niet nodig hebben, want als we al weten wat een tralie is, hoeven we niet nog een keer een tralie te definieren. De tweede definitie is dan ook niet op een geordende verzameling gebaseerd. Je hebt ook geen geordende verzameling nodig. Er worden twee operaties op een ongeordende verzameling gegeven, en op basis daarvan wordt die ordening gedefinieerd. Of -- hopelijk dat je het in jouw eigen terminologie begrijpt: als je weet wat $\lor$ en $\land$ doen, kun je op basis daarvan "een soort pijlenkaart" tekenen. Hoopje (overleg) 13 apr 2022 08:11 (CEST)

Edit

@Hoopje: Sorry Hoopje, ik had niet in de gaten dat jij ook al een en ander had rechtgezet. Madyno (overleg) 12 apr 2022 14:44 (CEST)

Vraag

Wat is de betekenis van de zin: De algebraïsche structuur is op partieel geordende verzameling gebaseerd.? Madyno (overleg) 12 apr 2022 19:20 (CEST)

Madyno, ik leg dat hierboven in mij tekst van 0.19 uur uit. ChristiaanPR (overleg) 12 apr 2022 19:47 (CEST)

De tralie is de afbeelding van een verzameling met partiële orde en dient als een soort kaart om een uitdrukking in de elementen van die verzameling en de twee bewerkingen $\lor$ en $\land$ te kunnen evalueren. De algebraïsche structuur is in die zin op de verzameling met partiële orde gebaseerd.
Het is een ander verhaal om wanneer een algebraïsche structuur bekend is, daar de onderliggende verzameling met partiële orde uit te abstraheren.

Hoopje vindt de bewering dat de algebraïsche structuur op de verzameling met partiële orde is gebaseerd misleidend. Laat hem dan met een voorbeeld uitleggen waarom hij dat vindt.

ChristiaanPR (overleg) 12 apr 2022 22:28 (CEST)

Ik vind het ook onzin. Madyno (overleg) 12 apr 2022 23:22 (CEST)

Ja, maar het gaat in de algebraïsche structuren om het evalueren van uitdrukkingen, dat jij het nu onzin vindt of niet. ChristiaanPR (overleg) 12 apr 2022 23:30 (CEST)