Koch werd op zijn vijfde opgenomen in de jeugd van FC Kaiserslautern. Na een omweg via SV Dorbach kwam hij in 2009 terecht bij Eintracht Trier alwaar hij in 2014 de overstap maakte naar het eerste elftal. Na, opnieuw, een passage bij FC Kaiserslautern nam SC Freiburg hem in het begin van het seizoen 2017/18 onder contract.[1]
Koch maakte zijn debuut in de Bundesliga toen hij op 22 oktober 2017 tegen Hertha BSC de geblesseerde Philipp Lienhart vijf minuten voor tijd kwam vervangen. Zijn eerste doelpunt maakte hij op 10 februari 2018 in de met 2–1 verloren wedstrijd tegen Hannover.
Koch debuteerde in het Duits voetbalelftal op 9 oktober 2019 in de oefeninterland tegen Argentinië. In deze thuiswedstrijd, die in 2-2 eindigde, maakte hij tevens zijn basisdebuut en speelde de hele wedstrijd [2].